40°C তাপমাত্রার কোন নির্দিষ্ট পরিমাণ গ্যাস কে রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া সংকুচিত করে আয়তন অর্ধেক করা হলে চূড়ান্ত তাপমাত্রা কত?

রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া (Adiabatic process) হলো এমন একটি প্রক্রিয়া যেখানে সিস্টেম এবং পারিপার্শ্বিকের মধ্যে কোনো তাপ বিনিময় হয় না। অর্থাৎ, \(dQ = 0\)। এই প্রক্রিয়ায় তাপমাত্রা, চাপ এবং আয়তনের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা হয়:

    
• \(P V^\gamma = \text{ধ্রুবক}\)
    
• \(T V^{\gamma-1} = \text{ধ্রুবক}\)
    
• \(T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{ধ্রুবক}\)

যেখানে, \(P\) চাপ (Pressure), \(V\) আয়তন (Volume), \(T\) তাপমাত্রা (Temperature) এবং \(\gamma\) হলো স্থির চাপে ও স্থির আয়তনে গ্যাসের আপেক্ষিক তাপের অনুপাত (Ratio of specific heats), অর্থাৎ \(\gamma = \frac{C_p}{C_v}\)। সাধারণ দ্বি-পরমাণুক গ্যাসের (যেমন বায়ু) জন্য \(\gamma\) এর মান প্রায় \(1.4\) ধরা হয়।

দেওয়া আছে:

প্রাথমিক তাপমাত্রা \(T_1 = 40^\circ C\)

কেলভিন স্কেলে রূপান্তর করতে হবে: \(T_1 = 40 + 273 = 313 K\)

ধরি, প্রাথমিক আয়তন \(V_1\)

চূড়ান্ত আয়তন \(V_2 = \frac{V_1}{2}\)

আমরা রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার জন্য তাপমাত্রা ও আয়তনের সম্পর্কটি ব্যবহার করব:

\(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}\)

এখানে, \(\gamma = 1.4\)

\(313 \times V_1^{(1.4-1)} = T_2 \times \left(\frac{V_1}{2}\right)^{(1.4-1)}\)

\(313 \times V_1^{0.4} = T_2 \times \frac{V_1^{0.4}}{2^{0.4}}\)

\(T_2 = 313 \times 2^{0.4}\)

আমরা জানি, \(2^{0.4} \approx 1.3195\)

\(T_2 = 313 \times 1.3195\)

\(T_2 \approx 413.0435 K\)

চূড়ান্ত তাপমাত্রাকে সেলসিয়াস স্কেলে রূপান্তর করতে হলে 273 বিয়োগ করতে হবে:

\(T_2 (\text{in } ^\circ C) = 413.0435 - 273\)

\(T_2 (\text{in } ^\circ C) \approx 140.0435 ^\circ C\)

সুতরাং, চূড়ান্ত তাপমাত্রা প্রায় \(140^\circ C\)।